Matemática >> Função quadrática I
Introdução
Vendendo mais e lucrando menos... Isso é possível?
É sim!
Vai acontecer, por exemplo, se a função que relaciona o lucro com a quantidade vendida for uma função quadrática.
Venha estudar conosco!
Introdução
No estudo da Função Afim, vimos diversas situações em que o aumento de uma variável ou provocava aumento ou provocava redução na outra variável.
Mas nem sempre isso acontece.
Aliás, a imensa maioria das funções que aparecem em situações reais não tem variação linear.
Vamos analisar uma situação simples.
Dispondo de 100 metros de cerca, qual é a área de um terreno retangular que você pode cercar?
Podemos representar o terreno da seguinte maneira:
Introdução
Encontramos uma função que relaciona a área com as dimensões do terreno. Mas está claro que não se trata de uma função afim, não é mesmo?
Funções como essa são chamadas de funções quadráticas.
Observe a presença de um termo em x² nela. É esse termo que a caracteriza.
Na próxima página conceituaremos e exemplificaremos melhor esse tipo de função.
Função quadrática
Chamamos de função quadrática toda função f(x) em que os expoentes de x são apenas números naturais e o maior deles é igual a 2. Sua representação característica é a seguinte:
Lembre-se de que podemos escrever também:
Nessa expressão, a, b e c são chamados de coeficientes e podem assumir quaisquer valores reais.
Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
OBS: em nosso estudo, exceto se houver alguma indicação em contrário, teremos o conjunto dos números reais como domínio e contra-domínio da função quadrática. Já o conjunto imagem será obtido mais adiante, quando estudarmos em detalhes o gráfico da função, ok?
Função quadrática
Essa figura que acabamos de produzir é chamada de parábola.
TODA função quadrática tem como representação gráfica a parábola.
No gráfico da função quadrática alguns pontos são importantes e por isso devem ser destacados:
— A interseção com o eixo y.
— As interseções com o eixo x (que nós chamamos de "raízes da função", certo?).
— O vértice.
Observe novamente a parábola. Note que ela vem "descendo". Mas quando chega num certo ponto (no caso da parábola do nosso exemplo, esse ponto é o (2,-1), para de "descer" e começa a "subir". Note ainda que se você traçar uma reta paralela ao eixo y passando por esse ponto, essa reta será um eixo de simetria da parábola (um "espelho").
O vértice é um ponto importantíssimo da parábola e voltaremos a falar sobre ele com mais detalhes adiante, ok?
Obtendo a expressão da função
Agora, basta resolvermos o sistema formado por essas três equações para descobrirmos os valores de a, b e c!
Da segunda equação sabemos que b é igual a (-1 - 2a). Vamos substituir na equação acima então!
O que nos leva a:
Assim, a função quadrática cujo gráfico contém os pontos (0,2), (2,0) e (3,2) é :
Obtendo a expressão da função
Agora é a sua vez!
No gráfico ao lado está representada uma função quadrática. Faça os cálculos em seu caderno e depois digite, no espaço indicado, os valores de a, b e c, ok?
a
1
b
-1
c
-2
Tente outra vez!
Muito bem!
Raízes da função quadrática
Já sabemos que toda função quadrática é da forma f(x) = ax² + bx + c, e que a, b e c podem assumir quaisquer valores reais. Dependendo dos valores que atribuímos a esses coeficientes, teremos diferentes parábolas.
Vejamos três delas abaixo:
No primeiro gráfico, a parábola toca o eixo x uma única vez, na segunda, corta o eixo em dois pontos e na terceira, não há interseção com o eixo.
O que isso significa?
As interseções com o eixo x são as raízes da função, certo?
Ou seja, são os valores de x para os quais y é igual a zero.
Raízes da função quadrática
E como obtemos esses valores de x?
Vamos impor a condição de que y deve ser zero:
Essa equação acima você já deve conhecer. Ela é resolvida usando uma fórmula conhecida como "Fórmula de Bhaskara":
Nessa fórmula, o valor da expressão que está dentro do radical irá determinar o número de raízes que a equação possui. Vamos chamar a expressão (b²-4ac) de discriminante e indicá-la pela letra grega Δ (delta). O que temos é o seguinte:
Raízes da função quadrática
Portanto, basta calcular o valor da expressão (b²-4ac) para saber quantas raízes a função quadrática possui!
Veja o exemplo abaixo:
Vamos voltar à fórmula:
Assim, as raízes da função são 1 e 5, de forma que a parábola corta o eixo x nos pontos (1,0) e (5,0).
Atividade
Agora é a sua vez!
Nas diversas funções abaixo você deverá verificar se há raízes reais e, caso existam, calcular seus valores. Para saber se acertou, utilize nosso Gerador de Gráfico da Função Quadrática.
Conclusão
Voltando ao início
Lembra daquele senhor preocupado com o lucro das suas vendas, que apresentamos no início?
Vamos imaginar que ele tenha conseguido expressar, através de uma função, a relação existente entre a quantidade de celulares vendidos (x) e o lucro obtido (y).
Se a função que ele encontrou foi y = x² - 17x + 60, que quantidades de celularesvendidos fazem ele não ter lucro algum?
Digite os valores que encontrar nos espaços indicados abaixo:
e
Tente outra vez!
Muito bem!
Vamos dar uma pausa em nosso estudo agora.
Na Função Quadrática - II continuaremos aprofundando o estudo do gráfico e resolvendo inequações de 2º grau, ok?
