Matemática >> Função quadrática II
Traçando a parábola
Com o auxílio do "Gerador de Gráfico da Função Quadrática" construímos os gráficos das funções f(x) = x2 e g(x) = - x2.
Dizemos que a parábola de f(x) está "para cima". E a parábola de g(x) está "para baixo".
No entanto, nem precisamos traçar o gráfico da função para saber se ela terá concavidade para cima ou para baixo.
Basta olhar o sinal do coeficiente de x2!
Assim, em uma função quadrática y = ax2 + bx + c:
Traçando a parábola
f(x) = x2 - 4 e g(x) = x2 - 1
Vemos que elas possuem concavidade para cima, pois o coeficiente a é positivo em ambas. Mas observe os pontos de interseção com o eixo y: (0,-4) em f(x) e (0,-1) em g(x).
Esse ponto de interseção também pode ser obtido sem necessidade de se fazer o gráfico ou qualquer cálculo.
Como um ponto do eixo y possui abscissa igual a zero, temos:
Assim, a interseção da parábola com o eixo y será sempre no ponto de coordenadas (0,c).
Traçando a parábola
Vamos resumir agora o que já sabemos sobre a parábola, para facilitar:
1) Concavidade: determinada pelo sinal do coeficiente de x2.
2) Raízes: obtidas com a fórmula 
3) Interseção com o eixo y: sempre no ponto de coordenadas (0, c).
No Estudo "Função Quadrática I" falamos rapidamente de um outro ponto muito importante da parábola: o vértice. Vamos ver agora como calculá-lo?
O vértice da parábola
Como uma reta paralela ao eixo y que passe pelo vértice será um eixo de simetria da parábola, podemos concluir que a abscissa do vértice será a média aritmética das duas raízes. Indicando essa abscissa por xv, temos:
Se indicarmos a ordenada do vértice por yv, teremos:
Conjunto imagem
Sabendo calcular o vértice da parábola, estamos agora em condições de determinar o conjunto imagem.
Fica fácil concluir, observando o gráfico de f(x) = x² - 4x + 3 que a imagem é formada por todos os valores reais maiores ou iguais a -1. Já se a parábola tiver a concavidade para baixo, o conjunto imagem será o subconjunto dos reais formado por números menores ou iguais a yv.
Resumindo:
Agora é a sua vez. Experimente usar essas fórmulas!
Conjunto imagem
Atividade 1
1) Abaixo apresentamos algumas funções quadráticas. Calcule as coordenadas dos vértices de cada uma delas em seu caderno. Depois, confira suas respostas usando o nosso Gerador de Gráfico da Função Quadrática.
Boa sorte!!
Conjunto imagem
Atividade 1
2) A altura y, em metros, que um projétil atinge, em função da distância x ao ponto de lançamento, é fornecida pela expressão y = -60x2 + 360x, na qual x é dada em quilômetros. Qual é o valor máximo da altura y?
Conjunto imagem
Atividade 1
3) Um comerciante observa que consegue vender x unidades de seu produto se cada uma delas for vendida por (10-x) reais. Escreva a função que relaciona a quantidade vendida (x) com o faturamento (y).
OBS: o faturamento é o total arrecadado com a venda de todas as unidades do produto.
A seguir, escolha a opção que apresenta o número de unidades para que o faturamento seja o maior possível.
Sinal da função quadrática
Da mesma forma que no estudo da função afim, estudar o sinal de uma função quadrática significa descobrir os valores de x para os quais a função se anula ou assume valores positivos ou assume valores negativos.
Para isso, bastam informações sobre as raízes e sobre a concavidade da parábola.
Vejamos um exemplo:
• Estudar o sinal de f(x) = x2 - 4.
Como o coeficiente de x2 é positivo (a=1), a parábola estará voltada para cima, certo?
As raízes serão:
Vemos que a parábola está acima do eixo das abscissas para valores de x menores que -2 ou para valores maiores que 2. E que está abaixo do eixo para valores de x entre -2 e 2.
Portanto, o sinal da função f(x) = x2 - 4 é:
Sinal da função quadrática
Vejamos esse outro exemplo: g(x) = -2x2 - 4.
Já sabemos que a concavidade será para baixo, pois o coeficiente de x2 é negativo.
Vamos obter as raízes:
de -2, concluímos que a função g não possui raízes reais.
Assim, um esboço do seu gráfico é:
Como toda a parábola está abaixo do eixo das abscissas, concluímos:
Agora é sua vez!
Sinal da função quadrática
Atividade 2
1) Para que valores de x a função f(x) = x2 - 7x + 10 é positiva?
Sinal da função quadrática
Atividade 2
2) Dizer que a função f(x) = x2 - 2x - m é positiva para todo x real significa dizer que a parábola está toda acima do eixo x. Isso ocorre para quais valores de m?
Sinal da função quadrática
Atividade 2
3) Quantos números inteiros são soluções da inequação x2 - 4x - 5 < 0?
Sinal da função quadrática
?
Atividade 24) Qual a solução da inequação
OBS: você deve fazer o estudo de sinal das funções f(x) = x2 - 9x - 10 e g(x) = x2 - 9 para montar em seguida o "Quadro de Sinais", do mesmo modo que fez no Estudo de Função Afim. Você pode conferir se seu estudo de sinal está correto usando nosso Gerador de Gráfico, ok?
