Matemática >> Números naturais

Introdução

Sempre foi uma necessidade do Homem "contar coisas": conta-se o tempo, riquezas, objetos etc. As primeiras contagens surgiram exatamente da necessidade de se saber o quanto se tinha.

A História nos diz que, no tempo em que ainda não havia registro escrito das quantidades, os pastores conferiam seu rebanho usando uma correspondência entre os animais e pedrinhas: cada ovelha, por exemplo, corresponderia a uma pedrinha. Ao sair pela manhã para o pasto, o pastor ia colocando num saco, inicialmente vazio, uma pedra para cada animal solto.

Introdução

No final da tarde, a operação era inversa, ou seja, ele retirava do saco uma pedra para cada animal que retornasse. Esse tipo de correspondência, aplicada intuitivamente, recebeu mais tarde a denominação de "correspondência biunívoca" ou "correspondência um a um".

O desenvolvimento da Humanidade acarretou a necessidade de representar as contagens através de palavras e símbolos. Assim surgiram os primeiros NUMERAIS.

Numerais e números

É muito importante que se faça a distinção clara entre NÚMERO e NUMERAL.

Número:

É a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. Assim, estamos pensando em números quando contamos os dias de uma semana, enumeramos os séculos ou medimos o peso de um objeto.

Numeral:

É toda representação escrita, falada ou digitada de um número.

Alguns exemplos:

1. O número cinquenta pode ser representado pelo numeral L (no sistema romano), pelo numeral 50 (no sistema indo-arábico decimal) e de muitas outras maneiras.

2. Um numeral pode representar números diferentes. Com efeito, o numeral 430, por exemplo, representa o número quatrocentos e trinta no sistema indo-arábico decimal, duzentos e oitenta, se estiver no sistema indo-arábico octal (pois 430₈ = 4*8² + 3*8 + 0 = 280₁₀), e mil e setenta e dois, se for uma representação do indo-arábico hexadecimal (pois 430₁₆ = 4*16² + 3*16 + 0 = 1072₁₀).

Relações entre os números naturais

De acordo com a verificação ou não das correspondências biunívocas que podem, ou não, ocorrer, são estabelecidas relações entre os números.

Para estudarmos as relações entre dois números, vamos chamar os conjuntos finitos associados a eles por A e B, e as quantidades de elementos de cada um deles de n(A) e n(B).

Chamaremos "a" e "b" aos números associados a esses conjuntos.

Assim:

- quando houver correspondência um a um, ou seja, n(A) = n(B), dizemos que os números são iguais e representamos por "a = b"

Relações entre os números naturais

Quando não acontecer a correspondência um a um, podemos ter dois casos:

Propriedades das relações entre números naturais

Conjunto dos números naturais

Um número natural é aquele que pode ser associado a um conjunto finito. Por exemplo:




A sucessão de números naturais pode ser obtida acrescentando-se sempre uma unidade a partir do número zero.

Conjunto dos números naturais

Quando um conjunto é formado por "números", ele será chamado "CONJUNTO NUMÉRICO".

Quando esses números são números naturais, chamamos este conjunto numérico de CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS e representamos por .

Quando em um conjunto numérico suprimimos o elemento "zero", acrescentamos um asterisco (*) à representação do conjunto. Assim:

Conjunto dos números naturais

Observações Importantes!

- O sucessor de um número natural é o resultado da soma desse número ao número natural 1. Todos os números naturais possuem sucessores.

- O antecessor de um número natural é o resultado da diferença entre esse número e o número natural 1. Apenas o número natural "zero" não possui antecessor.

- Há uma quantidade infinita de números naturais; assim, não é possível determinar o "maior número natural".

Dois ou mais números naturais que se apresentem em sequência no Conjunto dos Números Naturais são chamados "CONSECUTIVOS".

Geometricamente, representamos pelos pontos marcados em uma semi-reta orientada. Assim:

Atividades

Atividades

Atividades

5. Represente na reta numérica os números naturais pares que sejam maiores que 5 e menores que 15.



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